Unidad 7 · Sistemas de Ecuaciones

1

Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas

🔤 ¿Qué es una ecuación lineal con dos incógnitas?

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación de primer grado que relaciona dos variables, habitualmente x e y. Tiene la forma:

ax + by = c
donde a, b y c son números (coeficientes y término independiente)

Una solución de esta ecuación es cualquier par de valores (x, y) que hacen verdadera la igualdad. ¡Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones!

📊 Representación gráfica

Cada solución (x, y) es un punto del plano. Al representar todos los puntos que satisfacen la ecuación, obtenemos una recta. Para dibujarla basta con calcular 2–3 puntos.

Ejemplo: Para dibujar 2x − 3y = 3, despejamos y:

y = (2x − 3) / 3

Damos valores a x (p.ej. x = 0, 3, 6) y calculamos y correspondiente. Los puntos (0, −1), (3, 1), (6, 3) están en la recta.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

🔗 ¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Dos ecuaciones forman un sistema cuando buscamos los valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones a la vez. Su solución es el par (x, y) que es solución común.

{ ax + by = c
{ a'x + b'y = c'

Gráficamente: la solución del sistema es el punto donde se cortan las dos rectas. Por eso, es único si las rectas se cruzan en un solo punto.

✅ Comprobar si un par es solución

Para saber si (x₀, y₀) es solución del sistema, basta sustituirlo en ambas ecuaciones. Si se cumplen las dos igualdades, es solución. Si falla alguna, no lo es.

Ejemplo

¿Es x = −3, y = 5 solución de { 3x − y = −14 / 9x + 10y = 23 }?

1ª ecuación: 3(−3) − 5 = −9 − 5 = −14 ✅
2ª ecuación: 9(−3) + 10(5) = −27 + 50 = 23 ✅
→ Sí, (−3, 5) ES solución del sistema.

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Tipos de Sistemas según el Número de Soluciones

✂️

Sistema Compatible Determinado

Tiene una única solución. Las dos rectas se cortan en un solo punto.

        { 2x − 3y = 3

        { 5x + 3y = 18

        → x=3, y=1

SCD

♾️

Sistema Compatible Indeterminado

Tiene infinitas soluciones. Las dos ecuaciones dicen lo mismo: las rectas son coincidentes.

        { 2x + 3y = 15

        { 4x + 6y = 30

        → Infinitas soluciones

SCI

🚫

Sistema Incompatible

No tiene ninguna solución. Las ecuaciones se contradicen: las rectas son paralelas.

        { 2x + 3y = 15

        { 2x + 3y = 9

        → Sin solución

SI

💡

Truco rápido para identificar el tipo: Divide los coeficientes de ambas ecuaciones. Si a/a' ≠ b/b' → SCD. Si a/a' = b/b' = c/c' → SCI. Si a/a' = b/b' ≠ c/c' → SI.

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Métodos de Resolución de Sistemas ⭐

Existen tres métodos algebraicos para resolver sistemas. Todos llegan al mismo resultado, pero cada uno es más cómodo según la forma del sistema. ¡Elige bien y ahorras tiempo!

🔄 Método de Sustitución

Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

🌟

¿Cuándo usarlo?

Cuando una de las ecuaciones tiene un coeficiente 1 o −1 en alguna incógnita, despejar es muy fácil y rápido.

1

Despeja una incógnita (la más fácil) en una de las ecuaciones.

2

Sustituye esa expresión en la otra ecuación. Ahora solo tienes una incógnita.

3

Resuelve la ecuación de una sola incógnita que has obtenido.

4

Sustituye el valor encontrado en la ecuación donde despejaste para hallar la otra incógnita.

5

Escribe la solución y comprueba en ambas ecuaciones.

Ejemplo resuelto paso a paso

Resolver: { 5x + y = −2 / 3x + 2y = 3 }

① Despejamos y en la 1ª ecuación: y = −2 − 5x ② Sustituimos en la 2ª ecuación: 3x + 2(−2 − 5x) = 3 3x − 4 − 10x = 3 ③ Resolvemos: −7x = 7 → x = −1 ④ Hallamos y: y = −2 − 5·(−1) = −2 + 5 = 3

✅ Solución: x = −1, y = 3

⚖️ Método de Igualación

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las dos expresiones obtenidas, lo que elimina esa incógnita.

🌟

¿Cuándo usarlo?

Es muy parecido a la sustitución. Se usa cuando ambas ecuaciones se pueden despejar fácilmente en la misma incógnita.

1

Despeja la misma incógnita (p.ej. x) en las dos ecuaciones.

2

Iguala las dos expresiones. Obtienes una ecuación con solo y.

3

Resuelve la ecuación resultante y obtén el valor de y.

4

Sustituye ese valor en cualquiera de las expresiones de x del paso 1.

5

Ya tienes la solución. Comprueba en el sistema original.

Ejemplo resuelto paso a paso

Resolver: { 3x + 2y = 18 / x − 3y = −5 }

① Despejamos x en ambas ecuaciones: 1ª: x = (18 − 2y) / 3 2ª: x = −5 + 3y ② Igualamos: (18 − 2y) / 3 = −5 + 3y ③ Resolvemos (multiplicamos por 3): 18 − 2y = −15 + 9y → 33 = 11y → y = 3 ④ Hallamos x: x = −5 + 3·3 = −5 + 9 = 4

✅ Solución: x = 4, y = 3

➕ Método de Reducción (Gauss)

Consiste en sumar miembro a miembro las dos ecuaciones (o múltiplos de ellas) de modo que una incógnita desaparezca (se "reduzca").

🌟

¿Cuándo usarlo?

Es el más cómodo cuando los coeficientes de una incógnita son iguales (con distinto signo) o múltiplos entre sí.

1

Prepara las ecuaciones: multiplica una (o ambas) por el número necesario para que los coeficientes de una incógnita sean iguales con signo contrario.

2

Suma miembro a miembro las dos ecuaciones. Una incógnita desaparece.

3

Resuelve la ecuación de una incógnita que queda.

4

Sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la otra incógnita.

5

Escribe la solución y comprueba.

Ejemplo resuelto paso a paso

Resolver: { 3x + 2y = 7 / 4x − 3y = 15 }

① Multiplicamos para igualar los coeficientes de y: 1ª × 3: 9x + 6y = 21 2ª × 2: 8x − 6y = 30 ② Sumamos (los y se cancelan): 17x = 51 → x = 3 ③ Sustituimos x=3 en la 1ª original: 3·3 + 2y = 7 → 9 + 2y = 7 → 2y = −2 → y = −1

✅ Solución: x = 3, y = −1

⚡

Reducción doble (para fracciones): Si los coeficientes son grandes o hay fracciones, aplica el método de reducción dos veces: primero para despejar x, luego para despejar y. Evita fracciones en los cálculos.

📋 ¿Qué método elijo?

Método	Mejor cuando...	Ventaja
🔄 Sustitución	Algún coeficiente es 1 o −1 (fácil despejar)	Simple y directo
⚖️ Igualación	Las dos ecuaciones se despejan igual de fácil	Similar a sustitución, útil como alternativa
➕ Reducción	Los coeficientes son múltiplos o iguales con distinto signo	Muy rápido, sin fracciones si se elige bien

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Resolución de Problemas mediante Sistemas ⭐⭐

🗺️ Estrategia para resolver problemas

Traducir un problema real a un sistema de ecuaciones requiere seguir siempre estos pasos:

1

Identificar las incógnitas: ¿Qué no sabemos? Damos nombre a cada cantidad desconocida (x, y…).

2

Escribir las ecuaciones: Cada condición del problema genera una ecuación. Busca dos relaciones distintas entre x e y.

3

Resolver el sistema por el método más cómodo.

4

Interpretar la solución: Responde a la pregunta del enunciado con las unidades correctas.

🧩 Problemas Resueltos

🍎 Problema 1 · Precio de productos

Ayer pagamos 9 € por una macedonia de frutas y tres zumos. Hoy hemos pagado 11 € por tres macedonias y un zumo. ¿Cuánto cuesta una macedonia de frutas y cuánto un zumo?

① Incógnitas: m = precio macedonia, z = precio zumo
② Ecuaciones:
  m + 3z = 9
  3m + z = 11
③ Resolución (reducción, ×3 la 1ª):
  3m + 9z = 27
  3m + z = 11
  Restamos: 8z = 16 → z = 2
  Sustituimos: m + 6 = 9 → m = 3
④ La macedonia cuesta 3 € y el zumo 2 €.

🏎️ Problema 2 · Alquiler de coche

El precio del alquiler de un coche depende del número de días y los km recorridos. Por 4 días y 580 km pagué 151 €. Por 3 días y 650 km pagué 145,50 €. ¿Cuánto pagaré por 6 días y 350 km?

① Incógnitas: x = precio/día, y = precio/km
② Ecuaciones:
  4x + 580y = 151
  3x + 650y = 145,50
③ Reducción (×3 y ×−4):
  12x + 1740y = 453
  −12x − 2600y = −582
  Sumamos: −860y = −129 → y = 0,15
  Sustituimos: 4x + 87 = 151 → x = 16
④ Por 6 días y 350 km: 6·16 + 350·0,15 = 96 + 52,5 = 148,50 €

🔢 Problema 3 · Número de dos cifras

Si a un número de dos cifras se le resta el número que resulta de invertir su orden, se obtiene el triple de las decenas del número original. Si la suma de sus cifras es 15, ¿de qué número se trata?

① Incógnitas: x = cifra de unidades, y = cifra de decenas
  Número original: 10y + x
  Número invertido: 10x + y
② Ecuaciones:
  (10y + x) − (10x + y) = 3y → 9y − 9x = 3y → 6y − 9x = 0 → 3x − 2y = 0
  x + y = 15
③ Resolución:
  3x = 2y; x + y = 15 → 3x + 3y = 45 y 3x = 2y → 5y = 45 → y = 9, x = 6
④ El número buscado es el 96.

👫 Problema 4 · Edades

Hace tres años, la edad de Rubén era el doble de la de Marta. Dentro de 7 años, será 4/3 de la que entonces tenga Marta. ¿Cuántos años tienen ahora?

① Incógnitas: r = edad actual Rubén, m = edad actual Marta
② Ecuaciones:
  Hace 3 años: (r−3) = 2(m−3) → r − 3 = 2m − 6 → r − 2m = −3
  En 7 años: (r+7) = (4/3)(m+7) → 3r + 21 = 4m + 28 → 3r − 4m = 7
③ Resolución (igualación, despejamos r):
  r = 2m − 3 → 3(2m−3) − 4m = 7 → 6m − 9 − 4m = 7 → 2m = 16 → m = 8
  r = 2·8 − 3 = 13
④ Rubén tiene 13 años y Marta 8 años.

💪

Consejo clave para los problemas:

Antes de plantear las ecuaciones, haz un pequeño esquema con los datos. Asigna letras claras a cada incógnita y escribe cada condición del enunciado como una ecuación separada. Si el resultado no tiene sentido (edad negativa, precio negativo...), revisa las ecuaciones.

✏️

Ejercicios para Practicar

🔍 Bloque 1 · Identificar el tipo de sistema

Di si cada sistema es SCD, SCI o SI sin resolverlo (observa los coeficientes).

1

¿Qué tipo es?

{ 2x + y = 7
{ 4x + 2y = 0

2

¿Qué tipo es?

{ 3x − y = 5
{ x + 2y = 8

3

¿Qué tipo es?

{ x + 3y = 6
{ 2x + 6y = 12

4

¿Qué tipo es?

{ 5x − 2y = 4
{ −5x + 2y = 1

🔄 Bloque 2 · Método de Sustitución

5

Resuelve por sustitución

{ x + 3y = 5
{ 5x + 7y = 13

6

Resuelve por sustitución

{ 2x + y = −5
{ 4x + 3y = −1

7

Resuelve por sustitución

{ 3x + 9y = 4
{ 2x + 3y = 1

8

Resuelve por sustitución

{ x − 4y = 11
{ 5x + 7y = 1

⚖️ Bloque 3 · Método de Igualación

9

Resuelve por igualación

{ 3x + 8y = 5
{ 2x − 2y = 7

10

Resuelve por igualación

{ 5x + 3y = 28
{ 7x + 2y = −7

11

Resuelve por igualación

{ 3x − 5y = −1
{ 7x + 10y = 2

12

Resuelve por igualación

{ 2x + 9y = −1
{ 3x + 15y = −1

➕ Bloque 4 · Método de Reducción

13

Resuelve por reducción

{ 5x + 7y = −1
{ 3x − 7y = 33

14

Resuelve por reducción

{ 4x − 3y = 2
{ 3x + y = −4

15

Resuelve por reducción

{ 2x + 3y = 1
{ 4x − 5y = −9

16

Resuelve por reducción

{ 7x + 5y = 11
{ 35x − 12y = 129

🧩 Bloque 5 · Problemas de Aplicación ⭐

17

Plantea y resuelve

En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,50 € y bocadillos de tortilla a 2 €. Una mañana se vendieron 52 bocadillos y la recaudación fue de 149 €. ¿Cuántos bocadillos de cada tipo se vendieron?

18

Plantea y resuelve

El presupuesto de una biblioteca es de 100 € para libros y discos. Si compran 3 libros y 4 discos, sobran 5 €; y si compran 4 libros y 4 discos, faltan 10 €. Halla el precio de un libro y el de un disco.

19

Plantea y resuelve

La diferencia de dos números es 24. Si le sumamos 8 a cada uno, se obtienen otros dos tales que el mayor es el triple del menor. ¿De qué números se trata?

20

Plantea y resuelve

En un test de 50 preguntas, por cada acierto dan 4 puntos y por cada respuesta errónea o no contestada restan 3 puntos. Si mi nota ha sido el 58 % de la puntuación máxima que se puede obtener, ¿cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido?

21

Plantea y resuelve

Un autobús escolar hace la ruta entre dos pueblos A y B. Al ir lleno tarda 15 min más que si va vacío. Si cuando va vacío va a 100 km/h, ¿cuál es la distancia entre A y B?

✅ Soluciones de los Ejercicios

⚠️ ¡Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar! Solo así aprenderás de verdad.

Bloque 1 · Tipo de sistema

Ej. 1

{ 2x + y = 7
{ 4x + 2y = 0

SI — Incompatible (rectas paralelas)

2/4 = 1/2 = coef. iguales pero 7/0 ≠ → SI

Ej. 2

{ 3x − y = 5
{ x + 2y = 8

SCD — Una única solución

3/1 ≠ −1/2 → SCD

Ej. 3

{ x + 3y = 6
{ 2x + 6y = 12

SCI — Infinitas soluciones

1/2 = 3/6 = 6/12 → SCI

Ej. 4

{ 5x − 2y = 4
{ −5x + 2y = 1

SI — Incompatible

5/−5 = −2/2 pero 4/1 ≠ → SI

Bloque 2 · Sustitución

Ej. 5

{ x + 3y = 5
{ 5x + 7y = 13

x = −1, y = 2

Ej. 6

{ 2x + y = −5
{ 4x + 3y = −1

x = −7, y = 9

Ej. 7

{ 3x + 9y = 4
{ 2x + 3y = 1

x = −1/3, y = 5/9

Ej. 8

{ x − 4y = 11
{ 5x + 7y = 1

x = 3, y = −2

Bloque 3 · Igualación

Ej. 9

{ 3x + 8y = 5
{ 2x − 2y = 7

x = 3, y = −1/2

Ej. 10

{ 5x + 3y = 28
{ 7x + 2y = −7

x = −7, y = 21

Ej. 11

{ 3x − 5y = −1
{ 7x + 10y = 2

x = 0, y = 1/5

Ej. 12

{ 2x + 9y = −1
{ 3x + 15y = −1

x = 2, y = −5/9

Bloque 4 · Reducción

Ej. 13

{ 5x + 7y = −1
{ 3x − 7y = 33

x = 4, y = −3

Ej. 14

{ 4x − 3y = 2
{ 3x + y = −4

x = −2, y = 2

Ej. 15

{ 2x + 3y = 1
{ 4x − 5y = −9

x = −1, y = 1

Ej. 16

{ 7x + 5y = 11
{ 35x − 12y = 129

x = 3, y = −2

Bloque 5 · Problemas

Ej. 17 — Bocadillos

j + t = 52 / 3,5j + 2t = 149

30 bocadillos de jamón y 22 de tortilla

Ej. 18 — Biblioteca

3l + 4d = 95 / 4l + 4d = 110

Libro: 15 €, Disco: 12,50 €

Ej. 19 — Dos números

a − b = 24 / (a+8) = 3(b+8)

Los números son 28 y 4

Ej. 20 — Test

a + f = 50 / 4a − 3f = 0,58×200 = 116

29 aciertos y 21 fallos

Ej. 21 — Autobús

d/v_lleno = d/100 + 1/4 (15 min = 1/4 h)
Con sistema: d = v_lleno × t y d = 100 × (t − 1/4)

Necesitas más datos (velocidad lleno o tiempo). Si v_lleno = 60 km/h → d = 30 km